محاضرات الماتلاب للمرحلة الثالثة لقسم الرياضيات
اعداد
عصام سرحان ذياب
ما هو الماتلاب؟
ماتلاب أداة مفيدة جداً في تحليل وتصميم الأنظمة الإلكترونية باستخدام الحاسب، وقد أصبحت ذات تواجد واسع في المناهج الهندسية كما أنها تسخدم صناعياً في تصميم الأنظمة ومحاكاتها.
جاءت كلمة ماتلاب MATLAB من الأحرف الأولى للعبارة Matrix Laboratory أي مختبر المصفوفات، يحث تتعامل لغة ماتلاب مع الثوابت والمتحولات كمصفوفات رياضية، وبناءً على ذلك العمليات الرياضية الافتراضية في ماتلاب هي عمليات على مصفوفات. مثلاً: a * b هي عملية ضرب مصفوفتين الأولى a والثانية b
هذا يعني أن البرنامج المكتوب بلغة ماتلاب سيكون موجزاً أكثر مما لو كان سيكتب بأية لغة برمجة أخرى، فالعمليات الرياضية المعقدة يمكن كتابتها في أسطر قليلة من لغة ماتلاب دون الحاجة إلى الحلقات البرمجية ثم تنفيذها باستخدام الحاسب للحصول على النتائج. هذه المصفوفات ستجعل البرنامج المكتوب بلغة ماتلاب صعباً للفهم لكنها ستجعله ذو كفاءات عالية في الحسابات والإيجاز، مما جعلها مجمعاً للمهندسين على اختلاف اختصاصاتهم، فصارت ماتلاب تحمل العديد من المكتبات البرمجية في مختلف الاختصاصات الهندسية وخاصةً الإلكترونية.
ماتلاب؟!
ماتلاب برنامج حاسوبي من إنتاج شركة Math Works يستطيع أن يساعدك في حل أنواع مختلفة من المسائل الرياضية التي قد تواجهك كثيراً في دراستك أو عملك الهندسي أو التقني.
يمكنك أن تستخدم الميزات المبنية في ماتلاب لحل أنواع عديدة من المسائل العددية البسيطة، مثل حل معادلتين بمجهولين: X + 2Y = 24 12X – 5Y = 10
والمزيد من المسائل المعقدة مثل الاستيفاء الرياضي، إيجاد حسابات المصفوفات، إنجاز عمليات معالجة الإشارة كتحويل فورييه، وبناء وتوجيه الشبكات العصبونية.
من أهم وأقوى الميزات في ماتلاب أنه قادر على الرسم البياني للعديد من أنواع المنحنيات، ويجعلك تستطيع تصور وتخيل أعقد التوابع الرياضية والنتائج المختبرية بيانياً. مثلاً: الصور الثلاثة التالية لمنحنيات بيانية رسمت باستخدام توابع ماتلاب للرسم البياني.
رنامج الماتلاب هو برنامج هندسي (وله مجالات أخرى) يقوم بعمليات تحليل وتمثيل البيانات من خلال معالجة تلك البيانات تبعاً لقاعدة البيانات الخاصة به, فمثلاً يستطيع البرنامج عمل التفاضل differentiation والتكامل Integration و كذلك يقوم بحل المعادلات الجبرية Algebric Equations وكذلك المعادلات التفاضلية Differential Equations ذات الرتب العليا والتي قد تصل من الصعوبة ما تصل, ليس فقط ذلك بل يستطيع البرنامج عمل التفاضل الجزئي, ويقوم بعمل عمليات الكسر الجزئي Partial fraction بسهولة ويسر والتي تستلزم وقتاً كبيراً لعملها بالطرق التقليدية, هذا من الناحية الأكاديمية, أما من الناحية التطبيقية فيستطيع البرنامج العمل في جميع المجالات الهندسية مثل أنظمة التحكم Control System, وفي مجال الميكانيكا Mechanical Field, وكذلك محاكة الإلكترونيات Electronics وصناعة السيارات Automotive Industry, وكذلك مجال الطيران والدفاع الجوي Aerospace and Defense, والكثير من التطبيقات الهندسية.
التعريف بمؤسس برنامج الماتلاب
قام بتأسيس البرنامج شخصان, الأول هو كليف مولر والثاني جاك ليتل كليف مولر
هو إستاذ الرياضيات وعلوم الحاسب Computer Science لأكثر من عشرين عاماً في جامعة متشيجين و جامعة ستانفورد وجامعة نيو مكسيكو.
أمضى خمس سنوات عند إثنين من مصنعى الــ Hardware وهما Intel Hypercube organization و Ardent Computer قبل أن يقوم بالإنتقال إلى شركة Mathworks الشركة الأم لبرنامج الماتلاب, كما أنه هو المؤلف لأول برنامج للماتلاب.
كما ان كليف مولر:الشخص الثاني هو المؤسس لشركة Mathworks كما أنه المساعد في وضع تخطيط برنامج الماتلاب.اما جاك حاصل على بكلوريوس الهندسة الكهربية وعلوم الحاسب من جامعة MIT عام 1978كما أنه حاصل على شهادة M.S.E.E من جامعة ستانفورد عام 1980
تطبيقات الماتلاب
1- التطبيقات الرياضية
2- المحاكاة Simulink
3- أنظمة التحكم بإستخدام الماتلاب Control System Using the Matlab
4- تطبيقات الأشارة بإستخدام الماتلاب Signal Application Using Matlab
5- عمليات الإشارة الرقمية بإستخدام الماتلاب Digital Signal Processing Using Matlab
6- النظريات الرياضية التقريبية بإستخدام الماتلاب Numerical Application Using Matlab
7- تطبيقات معالجة الصور بإستخدام الماتلاب Image Processing Applications Using Matlab
8- تطبيقات موجات الراديو بإستخدام الماتلاب Radio Frequency Applications Using Matlab
9- التطبيقات الميكانيكية بإستخدام الماتلاب Mechanical Applications Using Matlab
10- تطبيقات الرادار بإستخدام الماتلاب Radar Applications Using Matlab
11- تطبيقات الروبوت بإستخدام الماتلاب Robots Applications Using Matlab
12- التطبيقات الإلكترونية بإستخدام الماتلاب Electronics Applications Using Matlab
13- تطبيقات أشباه الموصلات بإستخدام الماتلاب Semiconductors Applications Using Matlab
14- التطبيقات المستخدمة في صناعة السيارات بإستخدام الماتلاب Automotive Applications Using Matlab
15- التطبيقات المستخدمة في علوم الفضاء والدفاع الجوي بإستخدام الماتلاب Aerospace and Defense Applications Using Matlab
16- تطبيقات الإتصالات بإستخدام الماتلاب Communication Applications Using Matlab
نظام الماتلاب يتكون من خمسة أجزاء رئيسية :
1-لغة الماتلاب: هذه لغة ذات مستوى عالي للمصفوفات ذات البعد الواحد وذات البعدين مع جمل تتماشى مع التحكم , الوظائف , تركيب البيانات , الدخل على الخرج , والهدف الوجيه لمزايا البرمجة.
2-بيئة عمل الماتلاب : هذه مجموعة من الوسائل والتسهيلات التي تعمل معها مثل مستخدمي الماتلاب او مبرمجي الماتلاب و التي تشتمل علي تسهيلات للإدارة ومتغيرات في workspace ارسال واستلام بيانات ,أيضا تتضمن وسائل للتطوير,الإدارة , وتطبيقات الماتـــــــلاب.
3-التعامل مع الرسومات:هذا النظام للتعامل مع الرسومات يتضمن أوامر ذات مستوى عالي للبيانات ذات البعد ين والثلاثة أبعاد ,التصور ,معالجة الصور,الرسومات,وتقديم الرسومات.
4-مكتبة الماتلاب للوظائف الرياضية: هي مجموعة واسعة من حلقت التحليل اللوغاريتمي من الدوال الابتدائية مثـــل sum , sine , cosine & complex arithmetic
5-امكانية ربط Matlab مع لغات البرمجة مثل السى و الجافا وايضا السى شارب
. مكونات واجهة البرنامج
1-نافذة التعليمات :Command Window
النافذة الرئيسية للبرنامج وفيها يتم كتابة التعليمات بشكل مباشر. توفر هذه النافذة عدة وضائف أخرى من بينها:
1ـ الإطلاع على نصوص المساعدة المدرجة مع الدوال التي يوفرها البرنامج أو المساعدة العامة.
2ـ الإطلاع على نتائج الترجمة.
3ـ الإطلاع على مسار العمل وتغيره برمجيا.
4ـ الإطلاع على محتويات مجال العمل وقيمة المتغيرات المتواجدة فيه, وإفراغه عند الحاجة.
5ـ فتح الأقسام الفرعية للبرنامج مثل demo و Semulink…
2-مسار العمل:Current Directory
يتمثل في المجلد الحالي الذي تعمل فيه. المسار التلقائي الذي يوفره البرنامج هو المجلد Workالموجود في مسار تنصيب البرنامج. هذا المسار التلقائي يمكن من إستغلال أسهل للدوال التي يوفرها البرنامج ويحتوي كافة الملفات و المجلدات المرتبطة بالتطبيق الذي تم فتح أحد ملفاته الرئيسية(.m). لتغير المسار يكفي إختيار الزر المقابل لخانة الكتابة أوكتابة المسار هناك مباشرة وتفعيل التغير عبر النقر على الزر “Enter”
يمكن تعديل ذلك المسار برمجيا من العنصر رقم 5 في الصورة
3-مجال العمل: WorkSpace
في هذا المجال يتم تسجيل أسماء المتغيرات التي تم تعريفها والقيمة المسندة لكل متغير. هذا المجال يجنبنا أعدة إسناد نفس القيمة مجددا للمتغير و إستعماله مباشرة في المعادلات أو غير ذلك من الإستعمالات. ما يغلق البرنامج يتم مباشرة حذف محتويات مجال العمل لذلك ينبغي تسجيله عند الحاجة. من الممكن أيضا إفراغ هذا المجال برمجيا
يعني يعرض لك اسماء المتغيرات مثل (x,y,z ) وقيمها ونوعها4-أرشيف التعليمات:Command
History
في هذه النافذة يتم تسجيل وقتيا و بترتيب كافة التعليمات السابقة التي تم تنفيذها في نافذة التعليمات مما ييسر إعادة تفعيلها/ترجمتها فقط بالضغط على أزرار الإتجاهات في لوحة المفاتيح.
مثال
الدوال المخزنة على MATLAB :
الدوال هي عبارة عن أكواد برمجة سابقة الإعداد أو التجهيز تؤدي لنا وظائف متنوعة ولكل دالة اسم خاص بها لا يتشابه مع غيرها إلا أنه ينبغي التنوية إلى أنه يجب التمييز بين نوعين من الدوال:
- الدوال التي نقوم بكتابتها بنفسنا من خلال ملف من النوع M-File وتخزينها باسم معين لاستخدامها فيما بعد.
فإن برنامج الـ Matlab يتيح لنا إمكانية كتابة وأضافة دوال إلى الدوال الأساسية الموجودة فيه، وذلك عن طريق إعداد هذه الدوال كملفات M-File من خلال النافذة وحفظها بإسم معين.
يتم حفظ الدالة في m-files ويجب تعريف الدالة في أول سطر مع مراعاة التالي :
- أن يكون اسم الدالة الموجود في تعريف الدالة هو نفسه الذي يتم به حفظ الدالة.
- أن يكون اسم الدالة مكون من مقطع واحد لا يفصل بينه مسافات .
- أن لا يتجاوز اسم الدالة 31 حرف .
- أن يبدأ اسم الدالة بحرف ويمكن إتباعه برمز .
وعند الحاجة للبرنامج يتم كتابة اسم البرنامج ثم استخدامه ، أو يمكن تشغيله من أمر Run الموجود على شاشة الملف مباشرة.
حفظ دالة بسيطة في m-file :
نفتح new m-file ثم نقوم بكتابة البرنامج التالي :
function y = sample(x)
x.^4–y=x+x.^2
الدوال المخزنة في برنامج الـ Matlab وهي دوال معدة بواسطة الشركة المنتجة للبرنامج ويمكننا استخدامها مباشرة دون الحاجة لمعرفة الكود المكتوب لها.
هناك الكثير من الدوال المخزنة على Matlab ويبين الجدول التالي بعضاً منها :
- دوال التقريب:
الدالة
الوظيفة
Rem
تقوم بإخراج الباقي الصحيح لعملية القسمة.
Floor
تقريب الرقم العشري أو المصفوفة باتجاه ∞–
Ceil
تقريب الرقم العشري أو المصفوفة باتجاه ∞
Fix
تقريب الرقم العشري باتجاه الصفر
يعني تقوم بالغاء الكسر والحصول على الرقم الصحيح فقط.
Round
تقريب الرقم العشري باتجاه أقرب رقم صحيح
الجدول (2-1)
- الدوال المثلثية:
الدالة
الوظيفة
Sin
لحساب جيب الزاوية.
Cos
لحساب جيب التمام للزاوية.
Tan
لحساب ظل الزاوية.
Cot
لحساب ظل التمام للزاوية.
Sec
دالة
Csc
دالة
Asin
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية جيب الزاوية.
Acos
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية جيب تمام الزاوية.
Atan
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية ظل الزاوية.
Acot
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية تمام ظل الزاوية.
Acsc
معكوس csc
Asec
معكوس sec
Sinh
دالة الزائدية sin
Cosh
دالة الزائدية cos
Asinh
معكوس sinh
Acosh
معكوس cosh
الجدول (3-1)
- الدوال الحسابية الأولية:
الدالة
الوظيفة
Exp
Sqrt
لإيجاد الجذر التربيعي
Abs
لإيجاد القيمة المطلقة
Gcd
القاسم المشترك الأعظم
Lcm
المضاعف المشترك الأصغر
Max
لإيجاد القيمة العظمى
Min
لإيجاد القيمة الصغرى
Mod
القيمة المطلقة للباقي الصحيح للقسمة.
Rem
لحساب الباقي الصحيح للقسمة.
Log
اللوغاريتم الطبيعي: ذو الأساس الطبيعي 2.7183=e
log2
اللوغاريتم ذو الأساس 2.
log10
اللوغاريتم ذو الأساس العشري(ذو الأساس10)
Factorial
لحساب المضروب.
Complex
لتكوين أعداد مركبة من أعداد حقيقية وأعداد تخيلية يتم تمريرها للدالة.
Conj
لمعرفة المرافق للعدد التخيلي.
Imag
لإيجاد الجزء التخيلي من العدد المركب
Real
لإيجاد الجزء الحقيقي من العدد المركب
الرسم على MATLAB:
الرسم إما ثنائي و ثلاثي الأبعاد :
يمتلك برنامج Matlab قدرة كبيرة وإمكانيات عالية في عرض المتجهات والمصفوفات والدوال كرسومات بيانية، كما يمكنه من رسم الأشكال ثلاثية الأبعاد بالإضافة إلى تحريك تلك الأشكال الرسومية، وهذا بالإضافة إلى إمكانية إدراج أية تعليقات نصية على الرسومات وطباعتها، وبذلك تكون إمكانيات رسم المنحنيات الرياضية والمصفوفات في Matlab من أهم الإمكانيات المميزة فيه. ويقدم لنا برنامج Matlab وسائل تساعدنا على الرسم مثل تغير لون الخط، وتسمية المحاور، وتسمية الرسمة، وتسمية المتغيرات، وتقسيمها ومنها:
الدالة
الوظيفة
plot
يستخدم للرسم الخطية ثنائية الأبعاد2-D .
Plot3
تستخدم للرسم ثلاثي الأبعاد.
surf
مشابة لـ mesh لكن مع تلوين الرسم وبالتالي تلوين الشكل كاملاً وهوللرسم ثلاثي الأبعاد 3-D.
Surfc
مشابة لـ meshc لكن مع تلوين الرسم وبالتالي تلوين الشكل كاملاً وهو للرسم ثلاثي الأبعاد 3-D.
mesh
للرسم على المحاور الاحداثية الثلاثة 3-D على شكل شبكة.
ezplot
تقوم بالرسم على المحاور الثنائية ضمن مجال يمكن تحديده ولعلاقة بمتحول أو متحولين.
meshgrid
تعريف المحاور لأستخدامها في الرسم ثلاثي الأبعاد 3-D.
hold
تقدم هذه التعليمة امكانية رسم اكثر من منحنى حيث يتم تفعيلها ب hold on ورسم مانشاء وبعد ذلك يتم ايقافها ب hold off
Title
لكتابة عنوان على الرسم .
Xlabel
لتسمية المحور الأفقي للرسم .
Ylabel
لتسمية المحور العمودي للرسم .
Zlabel
لتسمية محور البعد الثالث للرسم.
grid on
لرسم شبكة على الرسم (أو لتقسيم الرسم ).
subplot
لعرض عدة رسومات منفصلة في إطار واحد .
Text
لكتابة أي تعليق على الرسم .
Legend
مفتاح الرسم (أسماء المتغيرات) .
view
لتحديد من أي إتجاه يرسم الشكل.
axis
لتحديد أطوال المحاور.
contour
لعمل تخطيط للرسم في بعدين او ثلاثة أبعاد.
لرسم أكثر من دالة نستخدم الألوان التالية :
اللون
أحمر
أبيض
أسود
أصفر
أخضر
أرجواني
أزرق
أزرق داكن
الرمز
R
W
K
Y
G
M
C
B
أو يمكن التميز بين الدوال بنوع خطوط الرسم كما يلي:
الرمز
–
:
.-
—
نوع الخط
Solid
Dotted
Dash dot
Dashed
استخدام MATLAB للحسابات البسيطة
العمليات
الرمز
الأمثلة
عملية الجمع
+
3+22=25
عملية الطرح
–
90-54=36
عملية الضرب
*
3.14*0.85=2.669
عملية القسمة
/or
56/8=7
عملية الأس
^
2^8=256
بعض الأمثلة:
>> 2/3^2
ans =
0.2222
>> (2/3) ^2
ans =
0.4444
>> 2+3*4-4
ans =
10
>> 2^2*3/4
ans =
3
>> 2^(2*3)/(3+4)
ans =
9.1429
اوامر مهمة
clear إفراغ كافة البيانات المسجلة تلقائيا في والتعليمات السابقة التي تم كتابتها في نافذة التعليمات
clc تنظيف نافذة التعليمات من الأوامر السابقة ونتائجها
who إظهار أسماء المتغيرات المسجلة في مجال العمل
whos إظهار أسماء المتغيرات المسجلة في مجال العمل حجمها بالبايت, عدد مكوناتها خاصة للمصفوفات و نوعها
pwd يبين مكان مسار العمل current directory
what اسماء الملفات الموجوده في مسار العمل
ans يبين اخر قيمة
pi عبارة عن باي التي تساوي 3.1416
inf مالانهاية
nan عبارة ترمز عن جمله ليس لها معنى مثل نتائج 0/0 او inf/infمثال لامر clear
بعد ما عرفنا قيمة x سالنا الماتلاب عن قيمته فعرفه وبعد ما اتستخدمنا امر clear سالنا الماتلاب مرة تانية عن قيمة ء فرد انه ما ليس لديه قيمة ل xاما اذا كان لدينا اكثر من متغير x,y,z واردنا مسح قيمة عنصر واحد فقط مثلا x نستخدم الامر
كود:
clear xملاحظات هامة
عند تسمية المتغيرات مثل (x,y,z) يجب الا نسبقها بارقام مثل (3x) لكن ينفع (x3) والشرط ده برده يبطبق عندما نحفظ ملف باسم في الماتلاب كما ان الماتلاب يتعامل بالمصفوفات.
قوائم البرنامج
STAR
تستخدم هذه القائمة للوصول إلى التطبيق المراد تنفيذه, تستخدم هذه القائمة في المراحل المتقدمة في برنامج الماتلاب, إنظر الصورة التالية
FIEL
EDIT
Debug
Stop If Errors/Warnings…
Stop If Errors/Warnings…
ستلاحظ ظهور نافذة, تعطيك حرية الاختيار في تصرف برنامج الماتلاب عند حدوث أخطاء أو تحذيرات,Desktop:
التحكم بمحتوى الواجهة الخاصة ببرنامج الماتلاب, فمثلاً يمكننا إظهار نافذة الأوامر أو إخفائها (طبعاً لو أخفيناها لن نستطيع ان نعمل), أنظر المثال
ملاحظة:
تكون النوافذ في أحد الوضعين
1- Docked: حيث تكون النافذة غير قابلة للتحريك من مكانها.
2- Undocked: حيث تكون النافذة قابلة للتحريك وتعديل مقاسها أيضاً
أنظر الصور
قائمة Window:
حيث يمكنك التنقل بين ملفات الماتلاب المختلفة, وكذلك النوافذ مثل نافذة الأوامر Command Window وغيرها الكثير.
Help
حيث تقوم تلك القائمة, بتوفير المساعدات الضرورية في البرنامج, ووسائل الإتصال بالشركة المصنعة, وآخر التحديثات, وكذلك تعلم الماتلاب باللغة الإنجليزيةعمليات تطبيقية في الصفحة الرئيسية للبرنامج
عملية الجمع:
تأخذ علامة الجمع في الماتلاب الرمز المعروف للجمع وهو “+”
فمثلاً إذا قمنا بجمع 3+2 سيقوم الماتلاب بوضع الإجابة في صورة أرقام وهو 5, أنظر المثال التالي
إذهب إلى نافذة Workspace وقم بالنقر بالماوس بقرة مزدوجة, ستلاحظ ظهور نافذة حلت محل نافذة الأوامر وأصبحت نافذة الأوامر في الأسفل, أنظر المثال
لنفترض أننا قمنا بتغيير الناتج 5 إلى 3, قم بإغلاق نافذة تعديل النتائج, كما في المثال التالي
ستلاحظ عودة نافذة الأوامر لوضعها الأساسي, قم بكتابة ans في نافذة الأوامر, ستلاحظ ظهور الناتج بالقيمة الجديدة وهي 3, أنظر المثال
عملية الطرح:
تأخذ عملية الطرح رمز ( – ) في الماتلاب, فمثلاً 3-2=1, أنظر المثال
عملية الضرب
تأخذ عملية الضرب رمز ( * ), فمثلاً 15*12= 180, أنظر المثال
عملية القسمة:
تأخذ عملية القسمة رمز ( / ), فمثلاً 12 على 3 تساوى 4, أنظر المثال
عملية وضع الأس:
يأخذ رمز الأس ( ^ ), يمكن الحصول على هذا الرمز من خلال الضغط على Shift + 6 في لوحة المفاتيح, فمثلاً 12^2=144, أنظر المثال
أخذ الجذر التربيعي:
يتم أخذ الجذر التربيعي لأي رقم عن طريق كتابة الأمر sqrt, فمثلاً الجذر التربيعي للرقم 144 يساوي 12 أنظر المثال التالي
وضع عناوين أثناء البرمجة
كما تعودنا في برامج Qbasic و C++ وغيرها الكثير من برامج البرمجة, فيتم وضع عناوين لما نقوم به حيث تكون مثل المرجع لنا في معرفة ما نقوم به في جزء ما من البرنامج.
ففي برنامج الماتلاب لوضع عنوان ما, لابد من أن نبدأ بوضع علامة مئوية ( % ), ثم نكتب مانريده بعدها, لاحظ المثال التالي
بعض المتغيرات المعرفة مسبقاً في برنامج الماتلاب والمعروفة:
بعض الدوال الخاصة ببرنامج الماتلاب,الدوال المثلثية Trigonometric functions
الدوال المثلثية العكسية Inverse Trigonometric functions
الدوال الزائدية Hyperbolic Functions
الدوال الزائدية العكسية Inverse Hyperbolic functionsالمثلثية Trigonometric Functions
ملاحظة: يقوم الماتلاب بقياس الزوايا بالتقدير الدائري Radian
لاحظ المثال التالي
الدوال المثلثية العكسية:
أنظر المثال التالي لترى مدى قابلية الماتلاب على حل تلك الأجزاء بسهولة تامة
بنفس الطريقة لكل الدوال المثلثية العكسية
الدوال الزائدية Hyperbolic functions
بعض العلاقات الهامة بالنسبة للدوال الزائدية
الدوال الزائدية العكسية Inverse Hyperbolic Functions
بعض القوانين الهامة للدوال الزائدية العكسية
يقوم الماتلاب من خلال التعويض بالمتغير (z) في المعادلات الموضحة الحصول على الدوال الزائدية العكسية
الأعداد المركبة وعملياتها Complex numbers and their Processes
اللوغاريتمات الطبيعية Natural Logarithm
القيمة المطلقة Absolute Value
العمليات التقريبية Approximation Processes
الدالة الأسية Exponential Function
الدالة الأسية تأخذ الصيغة الرياضية التالي
أما في الماتلاب فتختصر في exp
أنظر المثال التالي
الأعداد المركبة Complex Numbers
تأخذ الأعداد المركبة صيغة واحدة وهي تواجد جزء للأعدد الحقيقي Real number وجزء العدد التخيلي Imaginary Numbers, وتكون في الصيغة التالي
ويتم في برنامج الماتلاب العديد من العمليات والتي تتم في الأعداد المركبة مثل
إختيار العدد الحقيقي فقط
إختيار العدد التخيلي فقطإيجاد الزاوية Phase Angle, ويتم الحصول عليها من خلال العلاقة التالي
إيجاد القيمة المطلقة: ويتم الحصول عليها من خلال العلاقة التالي
جمع عددين مركبين: ويتم ذلك عن طريق جمع الأعداد الحقيقية مع بعضها, وجمع الأعداد المركبة مع بعضها
أنظر المثال التالي مشاهدة تلك العمليات
ملاحظة: تتم جميع العمليات الحسابية (الجمع والطرح وغيرها) على الأعداد المركبة أيضاً
كما رأينا في المثال السابق إستخدام الأمر angle لإيجاد زاوية الطور عن طريق كتابة angle(z) حيث يتم وضع رمز العدد المركب z في هذا الأمر, يمكننا أيضاً تنفيذ ذلك بإستخدام أمر آخر وهو atan2
أنظر المثال التالي
اللوغاريتمات الطبيعية Natural Logarithm
يرمز الماتلاب للوغاريتمات الطبيعية بالرمز log(x)
العمليات التقريبية لأعداد واقعة بين رقمين
أي رقم عشري يمتاز بأنه واقع بين رقمين صحيحين, فالماتلاب له القدرة على إختيار أحد هذين الرقمين بإستخدام الأمرين Ceil لإختيار الرقم الأكبر, والأمر Floor لإختيار الرقم الأصغر
أنظر المثال التالي
Matrices المصفوفات
والمتجهات
المتجهات و المصفوفات:
- إجراء العمليات الحسابية على المصفوفات:
- الجمع:تتم عملية الجمع بجمع كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولى مع العنصر المناظر له من عناصر المصفوفة الثانية كما في المثال:
>> A=[1,3;5,7];
>> B=[2,4;6,8];
>> C=A+B
C =
3 7
11 15
>> C=A+3
C =
4 6
8 10
- الطرح: تتم عملية الطرح بطرح كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولى مع العنصر المناظر له من عناصر المصفوفة الثانية كما في المثال:
>> C=A-B
C =
-1 -1
-1 -1
- الضرب: تتم عملية الضرب بضرب عناصر المصفوفة ببعض كما في المثال:
>> C=A*B
C =
20 28
52 76
- رفع المصفوفة إلى قوة(أس): كما يمكننا رفع المصفوفة المربعة إلى أس أو قوة كما في المثال:
- الجمع:تتم عملية الجمع بجمع كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولى مع العنصر المناظر له من عناصر المصفوفة الثانية كما في المثال:
- المتجهات Vectors:
المتجة هو عبارة عن مجموعة من الأعداد توضع في صف واحد أو عمود واحد ويتم استخدامها في إدخال البيانات أو الحصول على المخرجات.
أي أنه يوجد لدينا نوعين من المتجهات:
- متجه صفي :
والصورة العامة لكتابته كالتالي:
ويمكن وضع مسافة بدلاً من علامة الفاصلة وكلاهما يوضح أن جميع عناصر المتجه مرتبة كصف واحد. - متجه عمودي:
العمليات الأساسية والدوال الخاصة بالمتجهات:
هناك العديد من الدوال التي يتم تنفيذها على المتجهات وتزيد من أهميتها واستخداماتها وسوف نقوم الآن بشرح معظم هذه العمليات والدوال من خلال الأمثلة التالية:
- الدالة Length:تقوم بحساب عدد عناصر المتجه كما في المثال:
>> v=[2 5 0 1 4 -1]
v =
2 5 0 1 4 -1
>> length(v)
ans =
6
- الدالة Sum: تقوم هذه الدالة بإيجاد حاصل جمع عناصر المتجه كما في المثال:
>> w=sum(v)
w =
11
- الدالة Max:تقوم هذه الدالة بإيجاد أكبر عناصر المتجه من حيث القيمة كما في المثال:
>> w=max(v)
w =
5
- الدالة Min: تقوم هذه الدالة بإيجاد أصغر عناصر المتجه من حيث القيمة كما في المثال:
>> w=min(v)
w =
-1
- الدالة Size:تعطي قياس المتجة أو المصفوفة
>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6]
Matrix =
1 2 3
4 5 6
>> [Matrix]=size(Matrix)
Matrix =
2 3
- الدالة Sort:تقوم هذه الدالة بترتيب عناصر المتجه ترتيباً تصاعدياً
>> r=[9 7 5 8 3]
r =
9 7 5 8 3
>> s=sort(r)
s =
3 5 7 8 9
- الدالة Range:تقوم هذه الدالة بحساب الفرق بين أكبر قيمة في المتجة وأصغرقيمة فيه
>> range(r)
ans =
6
العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها على المتجهات: وتشمل هذه العمليات الحسابية عمليات الجمع والطرح والضرب والرفع إلى أس ولكن يجب الإشارة هنا أن هذه العمليات تتبع جميعها ما يسمى بجبر المصفوفات.
بعض الأمثلة للتوضيح:
>> x=[1,3,5];
>> y=[2,4,6];
>> z=x+y
z =
3 7 11
>> m=y-x
m =
1 1 1
>> p=x.*y
p =
2 12 30
>> p=x.^2
p =
1 9 25
- الدالة Length:تقوم بحساب عدد عناصر المتجه كما في المثال:
- متجه صفي :
- المصفوفات Matrices:
هي مجموعة من البيانات والتي يتم وضعها في صورة صفوف وأعمدة, وتأخذ الشكل التالي
وتستخدم المصفوفات في حل كثيرات الحدود Polynomials, وفي حل مجموعة من المعادلات, كيفية كتابة المصفوفات في برنامج الماتلاب:
يتم إدخال المصفوفة بكتابة عناصر الصف الأول, ثم الثاني وهكذا.
فمثلاً كتابة مصفوفة مثل التالي
ولكن قبل إدخال القيم التالي, على الجميع أن يعلم بأنه يتم كتابة عناصر الصف الأول, ويتم الفصل بين أرقام الصف الأول إما بفاصلة Comma (,) أو بعمل مسافة Space بين الأرقام, بعد إدخال قيم الصف الأول يتم فصل عناصر الصف الأول عن عناصر الصف الثاني ( الذي سيتم إدخال قيمه) إما بالضغط على مفتاح Enter أو بإستخدام الفاصلة المنقوطة Semicolon ( ; ), أنظر المثال التالي
كما ان المصفوفات هي عبارة عن ترتيب معين لبيانات معينه وعادة ما تكون هذه البيانات أرقاماً، والمصفوفة تتكون من صفوف وأعمدة وعادة ما نقول من النظام (mxn) حيث أن m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة.
>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6;7,8,9]
Matrix =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
كذلك إذا كان لدينا مصفوفة فأننا نستطيع إيجاد الصف الثاني أو الثالث من المصفوفة.
>> Matrix(2,:)
ans =
4 5 6
وكذلك نستطيع إيجاد العمود الثاني أو الثالث من المصفوفة.
>> Matrix(:,2)
ans =
2
5
8
إذ أردنا جميع عناصر المصفوفة بترتيب الأعمدة
>> Matrix(:)
ans =
1
4
7
2
5
8
3
6
9
أما إذا أردنا العنصر الواقع في الصف الأول والعامود الثاني:
>> Matrix(1,2)
ans =
2
ونحذف صف أو عمود من المصفوفة:
>> Matrix(:,2) = [ ]
Matrix =
1 3
4 6
7 9
>> Matrix(2,:) = [ ]
Matrix =
1 2 3
7 8 9
ونضيف صف أو عمود للمصفوفة:
>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6;7,8,9;10,11,12]
Matrix =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
ونجد قطر المصفوفة:
>> diag(Matrix)
ans =
1
5
9
- منقول المصفوفة (Transpose):
لتكن
مصفوفة من الدرجة 
يعرف المنقول للمصفوفة A بأنه المصفوفة من الدرجة 
التي نحصل عليها من A بحيث تكون صفوفها هي أعمدة A وأعمدتها هي صفوف A على التوالي نرمز للمنقول A بالرمز 
.>> A=[1 3 5; 2 4 6]
A =
1 3 5
2 4 6
>> A’
ans =
1 2
3 4
5 6
- المحددات: لتكن مصفوفة مربعة من الدرجة n يعرف محدد المصفوفة ويرمز له بالرمز استقرائياً كالتالي:
- إذا كان
- إذا كان
- إذا كان
مثال يوضح المحددات:
>> A=[1 0 3 ; 4 5 0; 7 8 9]
A =
1 0 3
4 5 0
7 8 9
>> det(A)
ans =
36
وهنا يجب الإشارة إلى بعض أنواع المصفوفات ذات الحالات الخاصة التي سوف نوضحها فيما يلي:
- المصفوفة الصفرية: وهي التي تكون كل عناصرها عبارة عن أصفار وتعتبر هذه المصفوفة هي المحايد الجمعي للمصفوفات.
>> x=zeros(3,2)
x =
0 0
0 0
0 0
- مصفوفة التي جميع عناصرها الواحد الصحيح: وهي المصفوفة التي تتكون جميع عناصرها من الرقم واحد.
>> x=ones(3,2)
x =
1 1
1 1
1 1
- مصفوفة الوحدة : وهي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصر القطر الرئيسي لها الواحد الصحيح وباقي عناصرها الأخرى أصفار.
>> id=eye(4)
id =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
جبر المصفوفات Matrix Algebra:
يعتمد جبر المصفوفات على قواعد غير القواعد المعهودة في العمليات الحسابية العادية التي يتم تطبيقها على الأعداد، وسوف نحاول فيما يلي توضيح هذه القواعد بقدر الإمكان:
- الدوال الخاصة بالمصفوفات:
- دالة Sum: وهي تقوم بجمع عناصر كل عمود من أعمدة المصفوفة كل على حدة كما في المثال:
>> x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
x =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A=sum(x)
A =
12 15 18
>> A=sum(x’)
A =
6 15 24
- الدالة Max: وهي تقوم بعرض أكبر رقم موجود في كل عمود من أعمدة المصفوفة كما في المثال:
>> B=max(x)
B =
7 8 9
>> B=max(x’)
B =
3 6 9
- الدالة Size: تقوم هذه الدالة بعرض أبعاد المصفوفة كما في المثال :
>> [C,D]=size(x)
C =
3
D =
3
- دالة Sum: وهي تقوم بجمع عناصر كل عمود من أعمدة المصفوفة كل على حدة كما في المثال:
>> C=A^2
C =
16 24
40 64
>> C=A.^2
C =
1 9
25 49
